极限与微元

所谓微元法，是指物理量变化极小时，研究各变化量之间关系的一种方法。研究运动时，可以是一小段时间/位移，研究受力时，可以是一小段物体/质量。

高中第一次接触微元法，是在运动学部分，瞬时速度的定义。在数学上，当运动时间足够短时，某点附近的平均速度就严格等于该点的瞬时速度

在运动学中，一旦我们取了一个极短的过程，就可以将曲线运动暂时看成直线运动，将匀变速直线运动暂时看成匀速直线运动，将变加速运动暂时看成匀加速运动，原因在于无穷小量的近似。

【资料图】

无穷小量的阶数

同阶无穷小和等价无穷小

设，都是趋近于0的小量，当

时，我们认为和差不多，称为同阶无穷小。特殊的，当时，称为的等价无穷小。

高阶无穷小和低阶无穷小

当

我们称是的高阶无穷小，同理，当

称为的低阶无穷小，特殊的，当

称为的阶无穷小。

习惯上，时， 称为一阶无穷小，同理，称为二阶无穷小。

常见等价无穷小

;

简单证明：如下图，三者分别对应、、的长度，

当时，三者重合相等。

;

证明：

;

证明：利用广义二项式定理，

;

证明：利用 定义可得。